В принципе на отрезке тоже могло бы подойти, т.к. я с отрезка некоторым "естественным" способом начинаю. Но мне могут понадобиться бесконечности на обеих концах, поэтому я больше думаю об отображении на ось. С весами или нет мне все равно. Задача чисто практическая - о приближении заданной функции комбинацией нескольких элементов базиса. Старо как мир, в сущности.
Ну, мне главное, что б приближение получилось хорошее. Исходя из природы аппроксимируемых функций, хорошо бы, что бы у элементов базиса было поменьше корней и экстремумов.
Ортогональность на самом деле не принципиальна. Просто из общих соображений кажется, что ортогональный базис будет работать лучше, чем не-. Интегрируемость на бесконечность вроде пока не требуется, но может я пока как следует не подумал.
По-моему, так не бывает, чтобы приближающие функции не осциллировали или мало осциллировали, если они ортогональный базис образуют, хоть в пространстве с весом, хоть без оного. Ну сам посуди.
Ну, что значит, "многочлены"? Функции-то неполиномиальные.
А так, любая функция раскладывается в ряд Тейлора или, на крайний случай, Лорана. Рациональными функциями еще можно аппроксимировать. Да чем угодно, на самом деле.
А если базис ортогональный, то у его n-ного элемента будет как минимум n-1 корней.
Приближение мночленами Эрмита (или кого угодно) можно ведь потом переписать как самый обычный многочлен. Поскольку задача все равно решается численной оптимизацией невязки, какой бы полиномиальный базис я не использовал, результат получается один и тот же.
Свойство, от которого хочется избавиться это то, что все многочлены проходят через точку (1,1).
Рациональные функции, в классической формулировке, к сожалению, не подойдут, т.к. аппроксимируемая функция известна только в нескольких точках, да и степеней свободы у меня всего несколько. Я как рaз думал о том, чтобы определить "базис" как семейство функций типа (x^n+a_n)/(x^2+1). Но решил пока не изобретать велосипед, а спросить, что умные люди подскажут.
Теорему о корнях ортогонального базиса я забыл, конечно. Видимо, от ортогональности придется отказаться.
Да, отличается. Значение аппроксимируемой функции в нуле известно лучше, чем в других точках. Модель строится так, как будто значение в нуле известно точно. В принципе, это не обязательно, но так удобнее.
Ну, тогда, наверное, надо подробнее разбираться в "физическом смысле" вашей функции, чем она могла бы быть в самом простом идеальном случае, какие поправки к ней имеют физический смысл, etc.
Видимо это будет не ортогональный базис, но и бог с ним. Это вполне может получиться, но мне надо будет подсунуть какую-то удачно подобранную последовательность в эспоненту, например записать энный член как
x^n * exp{-x^2/(2*n)}
На что бы я мог сослаться, говоря о свойствах такого разложения?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2011-02-26 12:55 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 01:08 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 03:01 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 01:35 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 03:06 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 03:09 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 03:16 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 03:20 am (UTC)А чем вас функции Эрмита не устраивают?
no subject
Date: 2011-02-26 03:37 am (UTC)Ортогональность на самом деле не принципиальна. Просто из общих соображений кажется, что ортогональный базис будет работать лучше, чем не-. Интегрируемость на бесконечность вроде пока не требуется, но может я пока как следует не подумал.
no subject
Date: 2011-02-26 04:23 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 02:49 pm (UTC)- Это ловушка!
или
- Вы даёте неральные планы!
или даже
- Будем искать!
Соколов уже напомнил мне ниже теорему о корнях ортогонального базиса. Такое впечатление, что все же придется изобретать велосипед самому.
no subject
Date: 2011-02-27 01:24 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-27 02:13 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 03:37 am (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 04:06 am (UTC)А так, любая функция раскладывается в ряд Тейлора или, на крайний случай, Лорана. Рациональными функциями еще можно аппроксимировать. Да чем угодно, на самом деле.
А если базис ортогональный, то у его n-ного элемента будет как минимум n-1 корней.
no subject
Date: 2011-02-26 02:44 pm (UTC)Приближение мночленами Эрмита (или кого угодно) можно ведь потом переписать как самый обычный многочлен. Поскольку задача все равно решается численной оптимизацией невязки, какой бы полиномиальный базис я не использовал, результат получается один и тот же.
Свойство, от которого хочется избавиться это то, что все многочлены проходят через точку (1,1).
Рациональные функции, в классической формулировке, к сожалению, не подойдут, т.к. аппроксимируемая функция известна только в нескольких точках, да и степеней свободы у меня всего несколько. Я как рaз думал о том, чтобы определить "базис" как семейство функций типа (x^n+a_n)/(x^2+1). Но решил пока не изобретать велосипед, а спросить, что умные люди подскажут.
Теорему о корнях ортогонального базиса я забыл, конечно. Видимо, от ортогональности придется отказаться.
no subject
Date: 2011-02-26 03:13 pm (UTC)А у вас точка (x=0) чем-то отличается от прочих точек? Или же с точки зрения "физики" все точки более-менее эквивалентны?
no subject
Date: 2011-02-26 04:05 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-26 04:17 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-27 03:44 am (UTC)О! Тяжелая артиллерия подтянулась!
Date: 2011-02-27 04:32 pm (UTC)x^n * exp{-x^2/(2*n)}
На что бы я мог сослаться, говоря о свойствах такого разложения?
Спасибо!
Это будет ортогональный базис
Date: 2011-02-27 04:43 pm (UTC)Попробуйте посмотреть ссылки в http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials .
Re: Это будет ортогональный базис
Date: 2011-02-27 05:47 pm (UTC)