Требуется ортогональный базис на вещественной оси

[ny_quant]

Полиномы и триг. функции я знаю. А что еще бывает?

Comments

[kdv2005.livejournal.com]

Э-э, тебе гладкие или разрывные тоже подойдут?

[c0nfigure.livejournal.com]

если разрывные, то можно с wavelet basis начать

[rsokolov.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Airy_function

[ny-quant.livejournal.com]

Нам бы гладких ...

[ny-quant.livejournal.com]

Я бы хотел что-то неосциллирующее. Но мысль интересная.

[rsokolov.livejournal.com]

А вам надо на отрезке или на всей оси? И функции должны быть "чисто ортогональными" или можно с весовой функцией?

[ny-quant.livejournal.com]

В принципе на отрезке тоже могло бы подойти, т.к. я с отрезка некоторым "естественным" способом начинаю. Но мне могут понадобиться бесконечности на обеих концах, поэтому я больше думаю об отображении на ось. С весами или нет мне все равно. Задача чисто практическая - о приближении заданной функции комбинацией нескольких элементов базиса. Старо как мир, в сущности.

[rsokolov.livejournal.com]

Просто не очень понятно, что значит "неосциллирующее", "ортогональное" и "интегрируемое на бесконечности".

А чем вас функции Эрмита не устраивают?

[ny-quant.livejournal.com]

Ну, мне главное, что б приближение получилось хорошее. Исходя из природы аппроксимируемых функций, хорошо бы, что бы у элементов базиса было поменьше корней и экстремумов.

Ортогональность на самом деле не принципиальна. Просто из общих соображений кажется, что ортогональный базис будет работать лучше, чем не-. Интегрируемость на бесконечность вроде пока не требуется, но может я пока как следует не подумал.

[ny-quant.livejournal.com]

Эрмит не устраивает тем, что многочлены.

[rsokolov.livejournal.com]

Ну, что значит, "многочлены"? Функции-то неполиномиальные.

А так, любая функция раскладывается в ряд Тейлора или, на крайний случай, Лорана. Рациональными функциями еще можно аппроксимировать. Да чем угодно, на самом деле.

А если базис ортогональный, то у его n-ного элемента будет как минимум n-1 корней.

[kdv2005.livejournal.com]

По-моему, так не бывает, чтобы приближающие функции не осциллировали или мало осциллировали, если они ортогональный базис образуют, хоть в пространстве с весом, хоть без оного. Ну сам посуди.

[ny-quant.livejournal.com]

Виноват, это был дурацкий ответ. Сейчас поясню.

Приближение мночленами Эрмита (или кого угодно) можно ведь потом переписать как самый обычный многочлен. Поскольку задача все равно решается численной оптимизацией невязки, какой бы полиномиальный базис я не использовал, результат получается один и тот же.

Свойство, от которого хочется избавиться это то, что все многочлены проходят через точку (1,1).

Рациональные функции, в классической формулировке, к сожалению, не подойдут, т.к. аппроксимируемая функция известна только в нескольких точках, да и степеней свободы у меня всего несколько. Я как рaз думал о том, чтобы определить "базис" как семейство функций типа (x^n+a_n)/(x^2+1). Но решил пока не изобретать велосипед, а спросить, что умные люди подскажут.

Теорему о корнях ортогонального базиса я забыл, конечно. Видимо, от ортогональности придется отказаться.

[ny-quant.livejournal.com]

В голове вспыхивают цитаты и кинофильмов, типа

- Это ловушка!

или

- Вы даёте неральные планы!

или даже

- Будем искать!

Соколов уже напомнил мне ниже теорему о корнях ортогонального базиса. Такое впечатление, что все же придется изобретать велосипед самому.

[rsokolov.livejournal.com]

(Функции Эрмита и полиномы Эрмита - вещи слегка разные, но не суть).

А у вас точка (x=0) чем-то отличается от прочих точек? Или же с точки зрения "физики" все точки более-менее эквивалентны?

[ny-quant.livejournal.com]

Да, отличается. Значение аппроксимируемой функции в нуле известно лучше, чем в других точках. Модель строится так, как будто значение в нуле известно точно. В принципе, это не обязательно, но так удобнее.

[rsokolov.livejournal.com]

Ну, тогда, наверное, надо подробнее разбираться в "физическом смысле" вашей функции, чем она могла бы быть в самом простом идеальном случае, какие поправки к ней имеют физический смысл, etc.

[kdv2005.livejournal.com]

Я думаю, что лучше обсудить вживую.

[ny-quant.livejournal.com]

Доживем до понедельника :)

[prof-yura.livejournal.com]

Полиномы, помноженные на убывающую экспоненту $\exp{-x^2/2}$.

О! Тяжелая артиллерия подтянулась!

[ny-quant.livejournal.com]

Видимо это будет не ортогональный базис, но и бог с ним. Это вполне может получиться, но мне надо будет подсунуть какую-то удачно подобранную последовательность в эспоненту, например записать энный член как

x^n * exp{-x^2/(2*n)}

На что бы я мог сослаться, говоря о свойствах такого разложения?

Спасибо!

Это будет ортогональный базис

[prof-yura.livejournal.com]

С весом $exp(-x^2)$.

Попробуйте посмотреть ссылки в http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials .

Re: Это будет ортогональный базис

[ny-quant.livejournal.com]

А, про полиномы Эрмита я и сам знал. Все же чему-то учили. Мне что-то другое нужно.