Хаос на стадионе

[ny_quant]

В Твиттере иногда все же попадаются любопытные вещи. А анимации так просто ваще.
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1394345575714213888

Bunimovich showed a particle bouncing in a rectangle with two circular caps moves around chaotically. The boundary of this region isn't smooth.

In 1973, Lazutkin showed that for a convex region whose boundary has ≥ 553 continuous derivatives, chaos is impossible!

(1/n) pic.twitter.com/oKXesLmzrU

— John Carlos Baez (@johncarlosbaez) May 17, 2021

Comments

[spamsink]

Почему именно 553? Кстати, хороший вопрос, почему стадионы до сих пор со рваной второй производной, хотя вскоре после изобретения железных дорог научились делать кривые с плавно изменяющимся радиусом кривизны.

[ny-quant.livejournal.com]

Не знаю, that's way above my pay grade. Надо понимать, это просто первая грубая оценка.

[ticklish-frog.livejournal.com]

Есть хорошая книжка Табачникова по этому поводу: http://www.personal.psu.edu/sot2/books/billiardsgeometry.pdf

[spamsink]

Originally this theorem asked for 553 continuous derivatives of the billiard curve; later this number was reduced to 6.

Так-то совсем другое дело!

[xaxam.livejournal.com]

Это долгая история, сокращаемая до букв КАМ (Колмогоров, Арнольд, Мозер). Начиналось всё с аналитической теории, потом пришёл черёд бесконечно-гладких уравнений, а потом за счёт всё более точных оценок число требуемых непрерывных производных сокращалось.

Грубо говоря, конечно-гладкая фнкция — это икс в степени лямбда, где лямбда — нецелое большое число (рассматриваемая вблизи нуля по иксу). Пока дифференцирование отнимает от лямбды единичку — всё хорошо, но рано или поздно счастье кончается, и следующей производной нет. А сама лямбда изначально — некий параметр задачи, вполне идеологически окрашенный, а не абы как.

Другой пример конечно-гладких функций — x^n log x. По тем же причинам. Такие функции возникают в случае "резонансных" (целых) значений лямбды выше.

[xaxam.livejournal.com]

Стадиону всё равно, главное, чтоб стандарт один и тот же соблюдался везде. А на железных дорогах всё равно есть скачок производной довольно невысокого порядка (3-4).

[spamsink]

Про стадион я пошутил. Бегуны всё же не по рельсам бегут, и в пределах дорожки способны устроить себе желаемую гладкость входа в поворот.

[alexanderr.livejournal.com]

неплохо. да, помнится одно время эти биллиарды и хаос были в моде, народ их активно изучал

вообще получать хаос на простых моделях довольно забавно. я тоже студентом в качестве домашней работы вычислял траектории в какой-то простой системе. там и точки бифуркации были и еще что-то.

но фундаментально идея была всегда одна и та же, найти такое, где маленькая ошибка в начальных условиях приведет к разным результатам. ну как маятник вверх ногами. может налево упасть, а может направо