Математическое

[ny_quant]

Рассмотрим задачу минимизации в Rn:

F(x) -> min

при ограничениях

G(x)=0 Edit: обсуждение показало, что это условие лишнее.
H(x)>=0

Хочется сформулировать такого типа теорему, что при разумных ограничениях на функции F,G,H (скажем F, видимо, должна быть выпуклой) решение задачи (Edit: под этим понимается точка, где достигается инфимум по допустимой области если таковая существует) либо совпадает с глобальным минимумом F(x) либо лежит на границе допустимой области.

Поскольку я это придумал сегодня по дороге на работу, я вижу два варианта. Либо это совсем неверно по каким-то очевидным причинам, которые мне с утра не пришли в голову. Либо это давно все знают и умные люди легко подскажут где найти соответствующую теорему.

Comments

[ny-quant.livejournal.com]

Не понял что отсюда следует.

Но вот juan_gandhi предложил простое доказательство, в котором не используется выпуклость области. Что не так?

http://ny-quant.livejournal.com/595516.html?thread=4899900#t4899900

[spamsink.livejournal.com]

Раз не на конце, то, значит, не на границе допустимой области.

[ny-quant.livejournal.com]

Этого тоже не понял.

[spamsink.livejournal.com]

Я понял так, что вопрос ставился о границе области, определяемой H(x), при условии G(x) = 0. Без этого условия утверждение очевидным образом верно для выпуклых функций с единственным минимумом, и неверно для прочих. Рассмотрим извилистую линию с многими разными минимумами. Решением будет локальный минимум на допустимой области, который не обязан совпадать с границей области.

[ny-quant.livejournal.com]

Понял Вашу мысль. Нет, я не это имел в виду.

[spamsink.livejournal.com]

Ганди доказывал без учета G(x) = 0.

[ny-quant.livejournal.com]

G(x) = 0 снижает размерность допустимой области. Любая допустимая точка лежит на границе допустимой области, так что утверждение становится тривиальным. Не надо было мне это ограничение добавлять. Не подумал.