У поля вещественных чисел есть единственное "расширение" которое тоже поле и имеет конечную размерность над $R$, - это поле комплексных чисел $C$. А вот у поля $Q$ рациональных чисел таких расширений очень много, - одно из них естественно возникает в Вашей задаче. А именно, если $\alpha$ - корень многочлена $x^3+x+1$ то множество $K$ всех чисел вида $a +b \alpha + c \alpha^2$ (с рациональными $a,b,c$) образует поле (т.е., оно замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления на не нуль), которое можно рассматривать как трехмерное векторное пространство над $Q$ с базисом $1, \alpha, \alpha^2$.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
Ну, вот и птички так же :)
Date: 2008-12-10 03:23 am (UTC)$a +b \alpha + c \alpha^2$ (с рациональными $a,b,c$)
образует поле (т.е., оно замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления на не нуль), которое можно рассматривать как трехмерное векторное пространство над $Q$ с базисом
$1, \alpha, \alpha^2$.