The unit distance problem

[ny_quant]

https://www.scientificamerican.com/article/ai-just-solved-an-80-year-old-erdos-problem-and-mathematicians-are-amazed/

Правда, как я понял, ИИ не решило проблему, а всего лишь показало, что Эрдош был неправ. Но все равно круто!

Comments

[juan_gandhi]

Картина там какая-то очень сложная.
Важность этой задачки я так и не понял; занятная так-то, но...

[dmm]

Во всяком случае, мы видим, что довольно много людей, в том числе, вполне известных, интересовалось этой задачей, и как-то чуть-чуть продвигались за те 80 лет, которые прошли с тех пор, как она была сформулирована. Непонятно, насколько она важная, но, похоже, она из известных, популярных и желанных задач в этой области (так-то полно не особо интересных людям "задач Эрдоша", но эта хоть и Эрдоша, но из "ограниченно знаменитых").

Но важнее не то, что она решила эту задачу (опровергнув гипотезу, про которую большинство предполагало, что она верна), а то, что она сделала это "по взрослому", привлекая соображения из других, довольно неожиданных подобластей математики и открыв новые, довольно нетривиальные связи между этими областями. То есть, это уже очень профессиональный уровень, характерный для действительно сильных математиков.

[dmm]

(Новая картинка тоже есть, и она попроще, чем старая, но я не знаю, правильная ли она:

https://claude.ai/public/artifacts/977e2c31-e4fc-4473-8158-588d3c152f4c

там слайдер внизу (слева попроще; это - семейство решений)

https://x.com/Sauers_/status/2057469949203939596 )

[lemberger]

Не-не, это серьезный математический результат.

Дело тут не в том, прав был Эрдёш или нет. Новый результат - усиление полученной Эрдёшем нижней (асимптотической) оценки (чего-то там). При этом решение не тупое: оно использует идеи из другого раздела математики (алгебраическая теория чисел, которой Эрдёш, кажется, не знал; кроме того, некоторых из использованных результатов в 1946 году не было). Задним числом понятно, что Эрдёш на самом деле использовал эту идею в простейшем случае, но буквально в его работе это не написано.

Два замечания. Во-первых, это не просто так "ИИ решил задачу", это люди с ним взаимодействовали, проверяли сгенерированные им тексты, отбрасывали и т.п.

Во-вторых, сразу после обнародования этого доказательства Will Sawin написал (чуть не за 5 дней) статью, в которой данный полученный с помощью ИИ результат существенно усиливается: используется та же идея, но она используется человеком, владеющим техникой.

Вывод: в точном смысле ИИ задачу не решил, но бесспорно, что людям ее решить он существенно помог. Насколько вероятно, что на ту же идею набрели бы и люди, судить трудно. Вполне могли бы (теоретически) - достаточно было вчитаться в рассуждение Эрдёша и захотеть его обобщить "по-научному". Но ни у кого из знающих теорию чисел руки до такого не дошли.

[lemberger]

допишу фразу:
[Но ни у кого из знающих теорию чисел руки до такого не дошли], а любители комбинаторной геометрии обычно не очень хорошо знают мэйнстримную математику. Ну а БЯМам все пофиг: они-то, в отличие от людей, вообще ничего не знают, могут с полным равнодушием и нечеловеческой эффективностью шарить по доступным им текстам.

[ny_quant]

Или, если сказать иначе, они знают всё ;)

[tropicalizator]

>Но ни у кого из знающих теорию чисел руки до такого не дошли

Пожалуй это преувеличение. Товарищ Цимерман, например, написал следующее:

I actually briefly worked on this problem and tried to make a counterexample, but failed to make progress.

On Boris Alexeev’s suggestion, I thought about this problem with the idea of making a counterexample stemming from a varying family of bounded degree number fields. Increasing degree occured to me, but is a very scary dynamic and often doesn’t work out. Moreover, it is hard to think through the analytic regimes and retain guiding intuition - it consumes much time and frequently doesn’t work out. While it’s true in the final solution that nothing is all that surprising, there are many ways to attempt to set this construction up (how big are the primes? How big is the ball? Do you take large products? how much splitting does one insist on - this is a tradeoff with how easy it is to make the field). It is definitely an intimidating construction to see through even if you know what is going on, and even harder to go play for yourself. It’s always tempting to look at a completed proof and declare it obvious after the fact.

This may indicate one way that AI systems have an edge: it’s not just that they can try all known methods, but they can play for longer and in more treacherous waters than mathematicians without getting overwhelmed. Of course this is not yet robustly true, but this may be a foreshadowing event.

[lemberger]

Ну то есть у кого-то дошли, но ИИ успел раньше. Или люди не настолько массово этим занимались. В любом случае факт есть факт.

[ny_quant]

Короче, это еще далеко не победа искуственногоразума над человеческим, но заметный шаг вперед.

А результат Савина это уже окончательное решение?

[lemberger]

Нет, совершенно не окончательное.

Но это не такая задача, у которой важно получить окончательное решение. Тут скорей по Бернштейну: движение - все, конечная цель - ничто. Удалось красивым методом продвинуться - вот и хорошо.